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　　前言：

　　随着单细胞测序技术的发展，每个研究或实验中测定的细胞数量在显著增加，少则产生几百，多则产生几十万的细胞数量，甚至更多。其中，细胞亚型(cell subtype or cell subpopulations)的鉴定是单细胞测序技术一个非常重要的基础应用。但由于单细胞测序数据通常涉及到很多细胞，而每个细胞中的基因数量又可能是几万个，所以，单细胞测序数据是一个高维的复杂数据，为了有效地对单细胞测序数据进行各种处理分析，特别是细胞亚型的鉴定，通常需要首先对单细胞测序数据进行降维，常用的数据降维方有：PCA、t-SNE、UMAP。你在文章中会经常见到这三个图，但对其所涉及的原理可能知之甚少，前段时间无意中看到了一个叫StatQuest的视频系列，作者是北卡罗莱纳大学教堂山分校遗传学系的一位叫Josh Starmer的大佬制作的系列统计学视频，用非常通俗的语言和模型来讲述一些统计学、高通量测序等教学视频，强烈推荐给大家。根据他讲解的内容，我和王熠共同为大家整理了这次分享的内容---PCA背后的原理，好了，让我们开始吧!

　　正文：

　　主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)是常用的数据降维方法，广泛运用在高维数据的处理和可视化展示中。日常生活中我们经常遇见高维数据，比如说日常体检，会获得大家的身高、体重、腰围、胸围等数据。对体检数据进行汇总，就得到了一张4维的表，但即便只有4个维度，也是无法直接在直角坐标系种进行展示的，那么我们能否找到一个变量，能够直接代替其中一两个变量的特征?这样数据就降低了维度，方便展示。

　　比方说反应一个人的健康状况，我们不会直接看身高和体重，会将体重除以身高的平方，得到体重指数来反应一个人的肥胖状况。这样我们不仅把4维的数据就降低到了3维，还把握到了体重指数这一最主要的评价标准。同时我们还会意识到，有的健身达人肌肉较多，他们的体重指数可能比较高，但是依然看上去比较瘦也很健康，这时候我们再考察腰围和胸围，确定他是不是健身达人，就能粗略地对一个人地健康状况进行评价。类似地利用这种思想，PCA通过构建新变量，把握住能够反应一组高维数据差异的最主要的几个变量，从而达到对数据进行降维的目的。

　　今天就和大家分享一下PCA降维原理在单细胞测序数据处理中的应用。

　　首先如下图所示：假设我们面对一团组织，通过单细胞测序我们能够汇总出一张基因表达表。从而通过生信分析了解到细胞之间的区别。

　　以Gene1为X轴，Gene2为Y轴，每个点表示一个细胞，我们可以直观地看到细胞之间的异同。

　　同样，如果基因数增加到3个，我们能两两基因绘图，也能绘制一个三维坐标图来看出各个细胞之间的关系。

　　可是单细胞测序的基因数动辄几千个。通过两两绘图完全不现实，如此高维的数据也很难直接呈现。这时候就需要我们可以对数据进行一些处理，在不损失区分度的情况下，降低数据维度，方便可视化展示。PCA就是其中一个方法。PCA通过重新构建变量，将原来的Gene1-Genen的n个变量，转换为PC1-PCn的n个新变量。这些新变量称为主成分。其中每一个主成分都是原来的变量Gene1到Genen的线性组合。翻译成理工科同学熟悉的语言就是：PC1=A1Gene1+A2Gene2+A3Gene3+……+AnGenen

　　此时还没完，如果随便构建变量是没有意义的，因为有N个变量就能构造出N个主成分，数据的维度没有变。这时候我们就需要对主成分提出要求，即前几个主成分能够解释绝大部分数据的方差，体现最多的差异。这样我们就能够只针对前几个主成分进行绘图，从而展示各个细胞之间的差异。那么主成分是如何构建的呢?下面将通过几张图来和大家分享一下构建过程。同样从简单的二维数据开始，我们找到这组数据的中心，将他设为新的原点。接下来准备确定新的坐标轴，即PC1。

　　回顾之前的要求，前几个主成分需要尽可能解释数据的差异。所以表现在图形上，就是我们通过不断旋转PC1，使得原来的点在新坐标轴上的投影，到原点的距离之和最大。我们将d12+d22+d32+…d62称为PC1的距离平方和(Sum of squared distances)，SS(distances)表示。而拟合度最好，即最大的SS(distances)成为PC1的特征值(Eigenvalue)。特征值的平方根称为PC1的奇异值(Singular Value)。

　　假设找到的新坐标轴PC1在原坐标系里的斜率是0.25，那么PC1=4×Gene1+1×Gene 2。但这还不够，确定了原点、坐标轴之后，我们还需要确定单位距离。我们只需要将单位距离从 调整为1，那么单位PC1=0.97×Gene1+0.242×Gene2，这个单位长度的PC1称为PC1的特征向量。此时我们将主成分中每个基因的比例(0.97和0.242)称为成分载荷(Loading score)。由于是二维数据，因此PC2只需要过原点做PC1的垂线就能得到。那么PC2=-0.242×Gene1+0.97×Gene2。那么PC1和PC2到底解释了多少方差呢?这个时候我们需要回顾之前定义的特征值。用主成分各自的特征值除以样本量减一就得到了各自的方差。假设PC1方差为15，PC2方差为3。那么总方差为18，PC1解释了83%，PC2解释了17%。用碎石图(Scree plot)表示如下图。

　　至此我们已经基本理解了主成分的构建过程，下面开始挑战一下三维的数据。

　　首先同样找到数据的中心，设定为原点。然后在空间中确定一条PC1，使得各个点到PC1的距离平方和最大，然后再过原点，垂直于PC1做一条PC2，不断调整角度使得各个点到PC2的距离平方和最大，最后再过原点，垂直于PC1和PC2确定的平面，做出PC3就完成了三维数据的主成分构建。此时各主成分分别解释了79%、15%和6%的变异。因此我们即使只考量PC1和PC2，也能解释94%的方差。从而成功将三维数据降维成二维。

　　同理，当Gene数成百上千的增加时，只要提取前两个或前三个能解释绝大多数变异的主成分，就能达到降维的目的。

　　看了这么多，也许你还是会搞不清楚，没关系，耐心看完这个视频，你就会明白了，视频地址：https://www.bilibili.com/video/av54898704